Les Journées 2021 du GDR EFI auront lieu à l'université de Strasbourg du lundi 31 mai matin au mercredi 2 juin 2021 midi. Il s'agit à proprement parler des 1ères journées du GDR EFI (car celles de 2020 ont été annulées) et elles font suite à la conférence Equations Fonctionnelles et Interactions en juin 2019.

Les organisateurs locaux sont Thomas Dreyfus, Viktoria Heu et Loïc Teyssier.

Les orateurs ont été invités par les organisateurs et le comité scientifique du gdr.

Compte-tenu de la situation sanitaire, les journées n'auront pas lieu en présentiel mais par visio-conférence. Les exposés auront lieu les matinées des 31, 1 et 2 de 10h à 12h (3 exposés par matinée).

Les visio-conférences se tiendront sur ce lien

https://webconf.math.cnrs.fr/b/dre-te9-3zj

Merci d'indiquer vos noms et prénoms à l'entrée de la salle pour mettre à l'aise les orateurs.

Les journées seront suivies par une rencontre du projet anr De rerum natura, les 3 et 4 juin, également en visio-conférence.

Chaque exposé dure 30 min plus 5 min de questions.

Lundi 31 mai

10h. Annette Bachmayr (Mainz)
The differential Galois group of the rational function field

10h45. Maja Resman (Zagreb)
Complex dimensions and lengths of epsilon-neighborhoods of orbits

11h30. Martin Klimes (Porto)
Singularities of meromorphic sl_2(C)-connections over Riemann  surfaces and their deformations 

Mardi 1 juin

10h. Bruno Salvy (Lyon)
Absolute Root Separation

10h45. Thomas Cluzeau (Limoges)
A constructive approach to the presentation of isomorphic finitely presented modules by equivalent matrices

11h30. Guy Casale (Rennes)
Relations algébriques entre solutions d'équations différentielles

Mercredi  2 juin

10h. Andrew Elvey Price (Tours)
The six vertex model on random lattices using Jacobi theta functions

10h45. Gabriel Lepetit (Grenoble)
Sur l'indépendance linéaire des valeurs de G-fonctions

11h30. Thomas Blossier (Lyon)
Autour du groupe d'automorphismes du corps des nombres complexes

Annette Bachmayr (Mainz)

Title: The differential Galois group of the rational function field

Abstract: The absolute differential Galois group is a differential analogue of the absolute Galois group in classical Galois theory. Let k be an algebraically closed field of characteristic zero and consider the rational function field k(x). Matzat's conjecture states that the absolute differential Galois group of k(x) is free of rank |k|. In recent work joint with with David Harbater, Julia Hartmann and Michael Wibmer, we confirm this conjecture in the key case where k are the complex numbers.

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Thomas Blossier (Lyon)

Titre : Autour du groupe d'automorphismes du corps des nombres complexes

Résumé : Au début des années 90, Daniel Lascar a montré que le groupe des automorphismes du corps des nombres complexes laissant les nombres algébriques fixes est simple. Je présenterai dans cet exposé des éléments de sa preuve et j'évoquerai un travail commun avec Zoé Chatzidakis, Charlotte Hardouin et Amador Martin-Pizarro, qui consiste à généraliser ce résultat à des corps différentiels et à des corps aux différences.

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 Guy Casale (Rennes)

Titre : Relations algébriques entre solutions d'équations différentielles

Résumé : En 2004, K Nishioka a montré que si y_1,..., y_n sont solutions de P_I : y''= 6 y^{^2} + x vérifiant tr.deg._{ C(x)} (y_1,y'_1,..., y_n,y'_n) < 2n alors il existe i

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Thomas Cluzeau (Limoges)

Title: A constructive approach to the presentation of isomorphic finitely presented modules by equivalent matrices

Abstract: We use the algebraic analysis approach to linear systems theory to handle problems related to the so-called equivalence problem in systems/modules theory. In the first part of the talk, we develop a constructive version of a theorem due to Fitting which asserts that the presentation matrices of isomorphic finitely presented left D-modules can be inflated by blocks of zeros and identity so that the resulting matrices are presentation matrices of the same D-modules and are equivalent. In practice, Fitting’s theorem can provide large equivalent matrices. In the second part of the talk, we propose a constructive version of Warfield’s results which imply that under some condition on the stable rank of the base ring D, we can reduce the size of the blocks of zeros and identity obtained via Fitting’s theorem in order to get smaller presentation matrices of the same D-modules that are still equivalent. The different results will be illustrated by examples computed using our Maple implementation of the distinct algorithms described in this talk. This is a joint work with Cyrille Chenavier and Alban Quadrat.

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Andrew Elvey Price (Bordeaux)

Title: The six vertex model on random lattices using Jacobi theta functions

Abstract: I will describe our solution to the six vertex model on random lattices. Our solution to this problem is a purely combinatorial reformulation of the non-rigorous solution of Kostov in mathematical physics literature, along with a proof that it is the solution. The method involves exactly solving a system of functional equations for the associated generating function in terms of Jacobi theta functions. We observe that the solution satisfies certain modular properties implying that it simplifies when the ratio of the two weights is 2\cos(\alpha) with \alpha/\pi rational, thereby explaining the simple expressions found by E.P. and Bousquet-Mélou in two such cases. This is joint work with Paul Zinn-Justin.

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Martin Klimes (Porto)

Title: Singularities of meromorphic sl_2(C)-connections over Riemann  surfaces and their deformations

Abstract: I will revisit some aspect of the local theory of  singularities of meromorphic linear systems in a traceless situation  in dimension 2, and of meromorphic quadratic differentials, and talk  about how things work in certain parametric settings, namely in  problems of confluence and of isomonodromic deformations.

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Gabriel Lepetit (Grenoble)

Titre : Sur l'indépendance linéaire des valeurs de G-fonctions

Résumé : On considère une G-fonction F(z) à coefficients dans un corps de nombres K, et un paramètre rationnel b. On définit une famille de G-fonctions F_{b,n}^[s](z) indexée par les entiers s et n, qui sont essentiellement des primitives itérées de F dans le cas où b est nul. Dans cet exposé, nous montrerons comment obtenir des bornes inférieure et supérieure sur la dimension de l'espace vectoriel sur K engendré par les valeurs F_{b,n}^[s](a) quand a est un élément de K dans le disque de convergence de F. Ceci généralise un théorème précédent de Fischler et Rivoal (2017), qui constitue le cas b=0. Notre preuve est une adaptation de leur approche, faisant usage du théorème d'André-Chudnovsky-Katz sur la structure des G-opérateurs et sur la méthode du point col. De plus, nous expliquerons comment on peut s'appuyer sur les résultats quantitatifs de Dwork et André sur la taille des G-opérateurs pour obtenir une formule explicite pour la borne supérieure, qui n'avait pas été donnée par Fischler et Rivoal dans le cas b=0.

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Maja Resman (Zagreb)

Title: Complex dimensions and lengths of epsilon-neighborhoods of orbits

Abstract: We consider orbits of model tangent to the identity germs on the real line and compute: (1) length of the epsilon-neighborhood of their orbits, (2) meromorphic extension of the zeta function of the fractal string generated by its orbits (see [2]). We compute complex dimensions of the orbit (among which box dimension is the first one), given as poles and residues of the meromorphic extension. It is known [1] that the length of the epsilon-neighborhood does not admit asymptotic expansion in power-logarithmic scale after first finitely many terms, due to the integer critical time in the definition. We have shown in [1] one way to circumvent this, by introducing the continuous length of epsilon-neighborhoods of orbits. It relies on embedding of a germ in a flow and using continuous critical time instead of discrete. Here we state the hypothesis that, at least in model cases, the contiuous length is related to the expansion of the standard length of the epsilon neighborhood in the sense of Schwarz distributions, which is obtained by inverse Mellin transform of the zeta function of the orbit. The coefficients and exponents of the expansion are determined by the complex dimensions of the orbit [3].

This is a joint work with Goran Radunović, University of Zagreb, and Pavao Mardešić, Université de Bourgogne. Based on [4].

[1] P. Mardešić, M. Resman, J.-P. Rolin, V. Županović, Tubular neighborhoods of orbits of power- logarithmic germs // Journal of dynamics and differential equations,1 (2019), 1; 1-49

[2] Lapidus, Michel L.; van Frankenhuijsen, Machiel, Fractal geometry, complex dimensions and zeta functions. Geometry and spectra of fractal strings. Second edition. Springer Monographs in Mathematics.Springer, New York, 2013. xxvi+567 pp.

[3] Lapidus, Michel L.; Radunović, Goran; Žubrinić, Darko, Fractal zeta functions and fractal drums. Higher-dimensional theory of complex dimensions. Springer Monographs in Mathematics.Springer, Cham, 2017. xl+655 pp.

[4] P. Mardešic, G. Radunovic, M. Resman, Fractal zeta functions of orbits of parabolic diffeomorphisms, submitted (2020), https://arxiv.org/abs/2010.05955

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Bruno Salvy (Lyon)

Title: Absolute Root Separation

Abstract: The absolute separation of a polynomial is the minimum nonzero difference between the absolute values of its roots. It plays a rôle in the complexity of algorithms for the asymptotics of linear recurrences. In the case of polynomials with integer coefficients, it can be bounded from below in terms of the degree and the height (the maximum absolute value of the coefficients) of the polynomial. We improve the known bounds for this problem and related ones. Then we report on extensive experiments in low degrees, suggesting that the current bounds are still very pessimistic. This is joint work with Yann Bugeaud, Andrej Dujella, Wenjie Fang and Tomislav Pejkovic.

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